Главная » Разное » Корни и их свойства

Корни и их свойства


Свойства корней: формулировки, доказательства, примеры

Данная статья представляет собой совокупность детальной информации, которая касается темы свойства корней. Рассматривая тему, мы начнем со свойств , изучим все формулировки и приведем доказательства. Для закрепления темы мы рассмотрим свойства  n-ой степени.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Мы поговорим о свойствах .

  1. Свойство умноженных чисел a и b, которое представляется как равенствоa·b=a·b. Его можно представить в виде множителей, положительных или равных нулю a1, a2, …, ak как a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak;
  2. из частного a:b= a:b,  a≥0, b>0, он также может записываться в таком виде ab=ab;
  3. Свойство из степени числа a с четным показателем a2·m=am при любом числе a, например, свойство из квадрата числа a2=a.

В любом из представленных уравнений можно поменять части до и после знака тире местами, например, равенство a·b=a·b трансформируется как a·b=a·b. Свойства для равенства часто используются для упрощения сложных уравнений.

Доказательство первых свойств основано на определении квадратного корня и свойствах степеней с натуральным показателем. Чтобы обосновать третье свойство, необходимо обратиться к определению модуля числа.

Первым делом, необходимо доказать свойства квадратного корня a·b=a·b. Согласно определению , необходимо рассмотреть, что a·b - число, положительное или равное нулю, которое будет равно a·b при возведении в квадрат. Значение выражения a·b положительно или равно нулю как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени умноженных чисел позволяет представить равенство в виде (a·b)2=a2·b2. По определению квадратного корня a2=a и b2=b, то a·b=a2·b2=a·b.

Аналогичным способом можно доказать, что из произведения k множителей a1, a2, …, ak будет равняться произведению квадратных корней из этих множителей. Действительно, a1·a2· …· ak2=a12· a22· …· ak2=a1· a2· …· ak.

Из этого равенства следует, что a1· a2· …· ak=a1· a2· …· ak.

Рассмотрим несколько примеров для закрепления темы.

Пример 1

3·525=3·525, 4,2·1312=4,2·1312 и 2,7·4·1217·0,2(1)=2,7·4·1217·0,2(1).

Необходимо доказать свойство арифметического квадратного корня из частного: a:b=a:b, a≥0, b>0. Свойство позволяет записать равенство a:b2=a2:b2, а a2:b2=a:b, при этом a:bявляется положительным числом или равно нулю. Данное выражение и станет доказательством.

Например, 0:16=0:16, 80:5=80:5 и 30,121=30,121.

Рассмотрим свойство квадратного корня из квадрата числа. Его можно записать в виде равенства как a2=aЧтобы доказать данное свойство, необходимо подробно рассмотреть несколько равенств при a≥0 и при a

zaochnik.com

Свойства корней, формулировки, доказательства, примеры.

Корень, его свойства, извлечение корня

В этой статье мы разберем основные свойства корней. Начнем со свойств арифметического квадратного корня, дадим их формулировки и приведем доказательства. После этого займемся свойствами арифметического корня n-ой степени.

Свойства квадратного корня

В этом пункте мы разберемся со следующими основными свойствами арифметического квадратного корня:

  1. свойство квадратного корня из произведения двух неотрицательных действительных чисел a и b, задающееся равенством вида , его можно распространить на произведение k неотрицательных множителей a1, a2, …, ak как ;
  2. корень из частного , которое часто записывают с помощью дробей как ;
  3. свойство арифметического квадратного корня из степени числа a с четным показателем при любом действительном a, в частности, свойство квадратного корня из квадрата числа .

В каждом из записанных равенств можно левую и правую части поменять местами, например, равенство можно переписать как . В таком «обратном» виде свойства арифметического квадратного корня применяются при упрощении выражений столь же часто, как и в «прямом» виде.

Доказательство первых двух свойств базируется на определении арифметического квадратного корня и на свойствах степени с натуральным показателем. А для обоснования последнего свойства арифметического квадратного корня придется вспомнить определение модуля числа.

Итак, начнем с доказательства свойства арифметического квадратного корня из произведения двух неотрицательных чисел: . Для этого, согласно определению арифметического квадратного корня, достаточно показать, что - неотрицательное число, квадрат которого равен a·b. Сделаем это. Значение выражения неотрицательно как произведение неотрицательных чисел. Свойство степени произведения двух чисел позволяет записать равенство , а так как по определению арифметического квадратного корня и , то .

Аналогично доказывается, что арифметический квадратный корень из произведения k неотрицательных множителей a1, a2, …, ak равен произведению арифметических квадратных корней из этих множителей. Действительно, . Из этого равенства следует, что .

Приведем примеры: и .

Теперь докажем свойство арифметического квадратного корня из частного: . Свойство частного в натуральной степени позволяет нам записать равенство , а , при этом есть неотрицательное число. Это и является доказательством.

Например, и .

Пришло время разобрать свойство арифметического квадратного корня из квадрата числа, в виде равенства оно записывается как . Для его доказательства рассмотрим два случая: при a≥0 и при a

www.cleverstudents.ru

Формулы корней и их свойства

Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?! Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

На этой странице описаны основные формулы и свойства корней. Если показатель корня является четным, то:

  1. для корень -ой степени не определен;
  2. для неотрицательное значение корня уравнения называется арифметическим корнем -ой степени из и обозначается

Если показатель нечетный, то уравнение имеет единственный корень при любом .

Основные свойства и формулы корней

Операции над корнями выполняются по следующим правилам:

   

   

   

   

   

   

   

   

   

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

ru.solverbook.com

Свойства квадратных корней. Видеоурок. Алгебра 8 Класс

На данном уроке мы познакомимся со свойствами квадратных корней. Эти свойства позволяют решать многие примеры, связанные с квадратными корнями. На этом уроке мы не только сформулируем свойства квадратных корней, но и докажем их, а также решим несколько примеров.

Тема: Функция . Свойства квадратного корня

Урок: Свойства квадратных корней

На этом уроке мы повторим теорию, изученную ранее, а также сформулируем и докажем свойства квадратных корней и решим несколько примеров.

Напомним определение квадратного корня:

квадратным корнем из неотрицательного числа называется такое неотрицательное число , квадрат которого равен : .

К примеру: , т. к. ; , т. к. ; , т. к. .

Вспомним, как выглядит график функции . Он тесно связан с графиком функции .

Рис. 1.

График функцией :

Рис. 2.

Итак, мы вспомнили, что такое корень квадратный из неотрицательного числа (арифметический корень) и как выглядит его график.

Квадратный корень (арифметический корень) обладает целым рядом свойств:

1.  (). Если  и  – неотрицательные числа, то корень из их произведения равен произведению корней.

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

Рассмотрим обобщение первого свойства:

.

Примеры:

1. .

2. .

3.  (). Если  – неотрицательное число, а  – положительное число, то корень из их отношения равен отношению корней.

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

3.  ().

Доказательство:

Воспользуемся определением квадратного корня:, а с другой стороны: . Получаем, что: . Но мы знаем, что функция  принимает свои значения ровно один раз. Значит, из равенства квадратов, получаем: . Доказано.

Примеры:

1. .

2. .

Рассмотренные свойства широко используются в различных задачах.

Решим несколько примеров.

1. .

Конечно, в данном примере можно было просто вычислить квадраты указанных чисел, а затем посчитать их разность. Однако предложенный нами способ решения универсальный. А подсчёт «в лоб» станет невозможным для больших чисел.

Прежде, чем решать следующий пример, рассмотрим одну из самых распространённых и грубейших ошибок, которую часто допускают при работе с квадратными корнями.

Утверждение:  – НЕВЕРНО!!!

В качестве подтверждения рассмотрим следующий пример:

, а не: . Как видим, применение неправильной формулы приводит к неправильным результатам.

2.  .

3. .

4. 

Или: .

Итак, мы рассмотрели свойства квадратного корня из неотрицательного числа, доказали эти свойства, а также научились применять их для решения различных примеров.

На следующем уроке мы научимся решать различные более сложные задачи с помощью этих свойств.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. – М.: Просвещение, 2004.

2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Просвещение, 2006.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

1. Портал для всей семьи (Источник).

2. Фестиваль педагогических идей «Открытый урок»  (Источник).

3. Внеклассный урок (Источник).

Домашнее задание

1. №226, 245, 318-323 Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2010.

2. Вычислите: а) ; б) ; в) ; г) .

3. Вычислите: а) , б) , в) .

Page 2

Многие действия, с которыми мы сталкиваемся в жизни, могут быть выполнены в две стороны. Сесть-встать, вкрутить и выкрутить болт, собрать и разобрать кубик Рубика (см. рис. 1) и т. д.

Рис. 1. Пример действия, которое может быть выполнено в две стороны

В целом можно сказать, что если есть алгоритм выполнения действий, то чаще всего можно подобрать и обратный ему алгоритм. Исключения тоже известны: разбитую чашку обратно не соберешь, слово не воробей и т. д.

На самом деле,  в точности равно  только в математике. В жизни, пока встаем и садимся, мы немного устаем и т. д. Но все-таки при решении некоторых задач мы можем говорить о том, что произошло обратное действие.

Обратное действие обычно имеет гораздо бо́льшую сложность, чем прямое. Действительно, придумать алгоритм действий несложно, но это не значит, что легко разработать и выполнить обратный к нему.

Если вы вышли из дома в незнакомом городе, то уйти куда-то несложно. А вот вернуться обратно, особенно если вы без карты или навигатора, не так просто. Более того, даже если вы запомнили маршрут, просто выполнить действия в обратном порядке не всегда возможно. Например, передвигаясь на автомобиле, вы могли проезжать по улицам с односторонним движением.

Мы уже знаем, что выполнять обратные действия в математике сложнее, чем прямые.

Например, обратное действие к умножению – деление. Но алгоритм умножения в столбик позволяет выполнить умножение любых двух чисел с использованием только таблицы умножения и умения складывать числа. А вот при делении нужно подбирать числа. Вспомните:

Подбираем:

значит, оставляем  и т. д.

Обратные арифметические операции возникают, когда нам нужно решить задачу вида  или . Т. е. когда мы знаем результат и нам известно одно слагаемое или множитель. А если нам неизвестны оба слагаемых или множителя, то задача становится еще труднее, да еще и неоднозначной. Например, . Это могут быть числа: . Конечно, для современных компьютеров выполнение таких обратных действий не составляет большой трудности, хотя есть и такие обратные операции, которые требуют очень много времени даже для очень мощной вычислительной техники. Это используется при шифровании данных. Подробнее об этом вы можете прочитать ниже.

Факторизация числа

Факторизацией числа называется его разложение на простые множители. Мы выполняли факторизацию чисел для нахождения НОД и НОК. Например: . Т. е. это операция, обратная умножению, в которой есть ограничения на множители: они должны быть простыми.

Для небольших чисел выполнить ее несложно – мы использовали для этих целей подбор. Но для больших чисел, которые являются произведением двух простых чисел, факторизация может занять огромное количество времени.

Сравните: прямая операция умножения двух простых -значных чисел займет на компьютере средней мощности (частота процессора  ГГц) время порядка нескольких секунд. А вот время выполнения обратной операции, т. е. факторизации, оценивают в  лет работы этого же компьютера.

Рис. 2. Время выполнения обратной умножению операции может занять огромное количество времени

Именно из-за того, что даже для компьютеров такая обратная операция является существенно сложнее прямой, простые числа используют в некоторых алгоритмах шифрования данных. Если сообщение перехватит человек, не знающий ключа (одного из простых чисел, которые использовались при перемножении), то у него уйдет слишком много времени на дешифровку.

Вспомним еще об одной операции – возведении в квадрат, т. е. умножении числа на себя. Возведение в квадрат – частный случай умножения, для которого у нас есть четкий алгоритм. Обратная операция – это извлечение квадратного корня. Вспомним определение.

Арифметическим квадратным корнем из  (обозначается, как ) называется такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат равно :

Сложность выполнения этой обратной операции состоит, во-первых, в том, что нет четкого алгоритма для извлечения корня, а нужно подбирать его значение. Например, чему равен ? Подбираем: это число должно быть от  до , т. к. оно больше  и меньше :

Оно заканчивается на , т. е. последняя цифра должна быть или , или , т. к. квадраты этих чисел заканчиваются на :

Считаем:

Значит,

Конечно, можно было бы посмотреть в таблицу квадратов. Но такую таблицу невозможно составить для всех чисел.

Кроме того, одно – искать квадратный корень из числа, которое точно является квадратом целого числа, а другое – пробовать найти, например, число, квадрат которого равен : . С этими сложностями вы уже знакомы, подробнее о них было рассказано в уроке «Виды чисел». А сегодня на уроке мы с вами познакомимся еще с некоторыми нюансами вычисления квадратных корней и изучим их свойства.

Квадратный корень, по определению, это решение уравнения:

Понятно, что если квадрат числа , то:

Т. е. если у уравнения есть корни, то не один, а два (исключение: ). Чтобы избавиться от неопределенности при определении квадратного корня, мы ввели определение арифметического квадратного корня:

Т. е. в дальнейшем мы будем работать с квадратными корнями, которые принимают только неотрицательные значения:

Поскольку нет чисел, которые при умножении на себя дают отрицательное число:

то уравнение  не будет иметь действительных корней при .

Из этого следует второе свойство квадратного корня: выражение  имеет смысл только при , при  выражение  не имеет смысла.

Квадратный корень из отрицательного числа

В языке некоторые выражения не имеют смысла, например «синий ветер». Хотя по отдельности оба слова существуют и имеют смысл. Математика тоже язык. Поэтому не должно удивлять то, что некоторые математические выражения не имеют смысла. Мы уже говорили об этом, когда давали определение алгебраическому выражению.

К таким выражениям относится, например, . Нет такого действительного числа, квадрат которого равнялся бы . С другой стороны, числа – это инструмент, который мы неоднократно расширяли (см. рис. 3). Оказывается, этот трюк можно повторить и здесь.

Рис. 3. Множества чисел

Если обозначить , т. е. расширить понятие числа за множество действительных чисел, то получится удобный инструмент, который сохранит все известные нам свойства чисел и может быть использован для решения различных прикладных задач. Такие числа называются комплексными. В школьном курсе такие числа и их свойства обычно не изучаются, а те, кто пойдут на технические специальности в университете, с ними обязательно познакомятся.

Используя определение квадратного корня, можем получить еще одно свойство:

Это свойство подтверждает, что возведение в квадрат и извлечение квадратного корня – обратные операции: извлекли квадратный корень из числа, затем возвели его в квадрат и получили исходное число. Кажется, логично: обратная операция, затем прямая – и получили то, что было.

Но мы знаем, что иногда результат зависит от порядка выполнения действий (надеть сначала рубашку пиджак или, наоборот, сначала пиджак, потом рубашку – два разных результата) (см. рис. 4).

Рис. 4. Результат зависит от порядка выполнения действий

Посмотрим, что получится, если сначала применить прямую операцию, а затем – обратную. Т. е. чему будет равно выражение .

По определению квадратного корня,  – это такое неотрицательное число, которое при возведении в квадрат равно :

На эту роль «претендуют» два выражения:

Среди них нужно выбрать неотрицательное.

При :

При :

Например:

В итоге получаем четвертое свойство:

Вспомним, что похожее определение имеет модуль числа:

Значит, четвертое свойство мы можем переписать в следующем виде:

Логично предположить, что свойства обратной операции будут связаны со свойством прямой. Поэтому обратимся к свойствам возведения в квадрат. Вспомним, что:

Применим это свойство для выражений  и . Естественно, эти выражения должны иметь смысл, т. е.  и :

По определению:

Тогда:

По первому свойству:

Значит:

Итак, мы возвели некоторое неотрицательное число ( в квадрат и получили . Тогда, по определению квадратного корня, это число равно . При этом данное выражение имеет смысл, т. к. . В итоге получаем еще одно свойство:

Аналогичным образом мы можем воспользоваться свойством для деления квадратов:

Тогда для корней получим соотношение:

Естественно, оно выполняется только тогда, когда все выражения имеют смысл, т. е. при  и .

Итак, повторим все записанные ранее свойства квадратного корня:

  1. ;
  2. выражение  имеет смысл только при , при  выражение  не имеет смысла;
  3. , где ;
  4. ;
  5. , где ;
  6. , где .

Использование этих свойств позволяет упрощать различные числовые и алгебраические выражения. Разберем типичные приемы, которые используются при упрощении выражений.

Задание 1. Упростить выражение:

Решение.

Степень подкоренного выражения четная, поэтому, во-первых, оно всегда будет неотрицательным и корень всегда будет определен (можем не беспокоиться об ОДЗ):  при всех , а, во-вторых, воспользовавшись свойством степени , можем записать:

Используем определение квадратного корня (не забываем про модуль, т. к. мы пока не знаем, какой знак будет у полученного выражения):

В роли  тут выступает . При любых значениях  выражение под модулем неотрицательно, поэтому:

Ответ: .

Основная идея: выделить под корнем квадрат некоторого выражения и воспользоваться свойством корня (эквивалентным определением).

Задание 2. Упростить выражение:

Решение.

Мы не можем подобрать такое целое число, которое при возведении в квадрат равно . Но можем сделать следующее упрощение: представим число  так:

Тогда:

Воспользуемся тем, что корень из произведения – это произведение корней:

Поэтому:

Значение  мы можем вычислить:

Тогда:

Или, в таких случаях знак умножения обычно опускают и записывают просто как:

Ответ: .

Основная идея: разложить подкоренное выражение на множители так, чтобы один или несколько из них являлись квадратами некоторого выражения:

Такое упрощение называется вынесение множителя из-под знака корня.

Задание 3. Сравнить значения выражений:

 

Решение.

Самый простой вариант – посчитать на калькуляторе приближенные значения этих выражений и сравнить (см. рис. 5). Но давайте посмотрим, как обойтись без калькулятора.

Рис. 5. Иллюстрация к заданию 3

Если мы представим  в виде корня из некоторого числа, то сравнить будет легко: где число под корнем больше, там больше и значение. Чтобы это сделать, сначала представим  в виде корня:

Тогда:

Воспользуемся тем, что произведение корней – корень из произведения:

Получаем, что:

Тут уже очевидно, что:

Ответ: .

Основная идея: представить множитель перед корнем в виде квадратного корня из некоторого выражения:

Такое преобразование называется внесение множителя под знак корня.

Доказательство монотонности квадратного корня

Почему мы сделали вывод, что ? Ведь, например, несмотря на то что :

Монотонно возрастающие функции – функции, для которых:

Как доказать, что для :

Рассмотрим разность:

Умножим ее на положительное выражение :

Т. к. , то:

Если произведение положительное и один из множителей положителен, то и второй множитель тоже положителен, значит:

Рассмотрим несколько более сложных примеров на упрощение выражений с корнями.

Задание 4. Упростить выражение:

Найти его значение при:

Решение.

Для применения любого из свойств корней необходимо, чтобы подкоренное выражение представляло собой произведение и частное некоторых выражений. Поэтому попробуем разложить подкоренное выражение  на множители.

В выражении присутствует , значит, чтобы оно имело смысл,  должен быть неотрицательным:

В таком случае  можно представить так:

А число  представить так:

Тогда:

Видим формулу квадрата разности :

  1. квадрат первого выражения – это ;
  2. квадрат второго выражения – это ;
  3. удвоенное произведение – это .

По формуле сокращенного умножения получаем:

Подставим это в исходное выражение:

По свойству корня :

Мы упростили выражение. Теперь найдем его значение при . Сначала вычислим значение :

Переведем смешанную дробь в неправильную:

Воспользуемся свойством корня , где :

Получаем, что , при  Тогда:

Ответ:

Задание 5. Вынести множитель из-под знака корня:

Решение.

Чтобы подкоренное выражение имело смысл, необходимо, чтобы:

При возведении в нечетную степень  знак остается прежним, т. е.:

Тогда  должно быть отрицательным (или нулем), чтобы произведение было неотрицательным, т. е.:

Разложим подкоренное выражение на множители так, чтобы один из них являлся квадратом некоторого выражения:

Воспользовавшись свойствами степени, получаем:

, где

Величина  всегда неотрицательна, , поскольку . Значит:

Ответ: .

Внесение множителя под знак корня

Мы рассмотрели, как выносить множитель из-под знака корня. Посмотрим теперь, как выполнять обратную операцию – вносить множитель под корень.

Задание 1. Внести множитель под знак корня:

 при

Решение.

Корень всегда неотрицательное выражение. Т. к. , то . Значит, выражение будет неотрицательным. Т. е. когда мы внесем множитель под знак корня, перед корнем должен остаться знак «плюс».

Воспользуемся свойством корней:

Чтобы проверить, можно выполнить обратную операцию:

, т.к.

Ответ: .

Задание 1*. Внести множитель под знак корня:

 при

Решение.

Как меняется решение, когда перед этим выражением стоит знак «минус»? Тогда выражение будет отрицательным, т. к. . Значит, после внесения множителя перед корнем должен появиться знак «минус», т. к. в результате эквивалентных преобразований знак выражения измениться не может:

Получим:

Чтобы проверить, можно выполнить обратную операцию:

, т.к.

Ответ: .

Задание 6. Упростить выражение:

Решение.

Раскроем скобки, воспользовавшись формулой разности квадратов :

Теперь воспользуемся определением квадратного корня:

Получим:

Заметьте, что в условии ничего не говорилось об ограничениях на значения переменных. Значит, речь идет обо всех допустимых значениях, т. е. можем сделать вывод, что .

Ответ: .

Задание не слишком сложное, но оно имеет важно применение. Обратите внимание, что в исходном выражении содержались квадратные корни, а в преобразованном – нет. О таком упрощении говорят, что мы избавились от иррациональности.

Задание 7. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

Решение.

Как мы увидели в предыдущем примере, чтобы избавиться от иррациональности, нужно перемножить два выражения, воспользовавшись формулой разности квадратов:

Чтобы сделать это в данном случае, умножим числитель и знаменатель дроби на . Такое выражение, которое отличается лишь знаком одного слагаемого от , еще называют сопряженным.

Получим:

Применим формулу сокращенного умножения в знаменателе:

Тогда:

Теперь в знаменателе нет корней, т. е. мы избавились от иррациональности в знаменателе.

Ответ: .

В случае когда в знаменателе есть только одно слагаемое, избавиться от иррациональности еще проще: нужно умножить на это же выражение.

Например:

Заключение

Кроме рассмотренных выше, есть еще и другие типичные виды заданий на упрощение выражений с квадратными корнями. Но все они сводятся к использованию указанных выше свойств, а также разобранных методов: выделение квадрата, разложение на множители, внесение и вынесение множителя из-под знака корня. Поэтому с ними вы также легко справитесь!

Список литературы

  1. Никольский С.М., Решетников Н.Н., Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: ФГОС, «Просвещение», 2018.
  2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.
  3. Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И., Суворова С.Б./Под ред. Теляковского С.А. Алгебра, 8 класс. Учебник. – М.: «Просвещение», 2018.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

  1. Интернет-портал yaklass.ru (Источник)
  2. Интернет-портал youclever.org (Источник)
  3. Интернет-портал mathematics-tests.com (Источник)

Домашнее задание

1. Выполнить:

a. Вынести множитель из-под знака корня:

б. Внести множитель под знак корня:

2. Избавиться от иррациональности в знаменателе:

3. Выполнить действия и найти значение при :

interneturok.ru

Смотрите также